Термоэлемент, дифференциальное уравнение

[Sergei]

Имеются 2 одинаковые емкости ( по объему ), наполняемые водой. Начальная Температура воды в емкости A1 T10 = 273.15 K ,
в A2 T20 = 373.15 K. Между ними расположен термоэлемент. КПД = (T2-T1)/T2 но это при T1= const и T2= const.
Но по мере работы емкость A2 охлажлается, а A1 нагревается.
Так, что T10 = 273.15 K - начальная температура воды в емкости A1, T20 = 373.15 K - начальная температура в емкости A2.

E - энергия, вырабатываемая термоэлементом
C - удельная теплоемкость воды ( 4.1928 кДж/(кг*K) , усредненная для интервала 273.15 K - 373.15 K )
m - масса воды в одной емкости ( и в первой и во второй одинаковое кол-во воды ).

Все сводится к вышеприведенному дифференциальному уравнению. Как вычислить интеграл?
Если кто знает, дайте ссылочку на физ. или мат. форумы.

Thermo_01.GIF

[VTur]

На всякий случай спрошу. Интеграл из второго дифференциала? Тогда,
∆E=A∆T-(B-E)ln⁡(T₂/T₁)

[surius]

VTur, абсолютно прав!
Вот вам на всякий случай ссылка на список интегралов от рациональных функций:
Список интегралов от рациональных функций
А вот первоисточник от Wiki:
Список интегралов элементарных функций

[Sergei]

На всякий случай спрошу. Интеграл из второго дифференциала? Тогда,
∆E=A∆T-(B-E)ln⁡(T₂/T₁)

Эта формула верна при E=const, но E - переменная. Нас учили, чтобы ( в данном случае) E и dE оказалось по одну сторону, а T и dT по другую и взять интеграл.

f₁(E) dE = f₂ (T) dT

Но что-то никак не получается переместить их по разные стороны.
Да, и не в промежутке( T₂ - T₁ ) , а в промежутке ( T₂ - T₃ ).
T₃ - точка до которой остыла вода в камере A₂ и нагрелась в камере A₁, т.е температура сравнялась и термоэлемент перестал вырабатывать ток.
T₃ != 323.15 K , а немного ниже т.к. часть энергии было преобразовано в электричество.
Эта задача не теоретическая. Хотелось бы узнать, сколько можно выжать из термоэлементов в походных условиях ( для зарядки раций, длинноволнового приемника, фотоаппарата и редко для зарядки навигатора ). Вообщем измерил и подсчитал нужна мощность 12 Вт и время зарядки 12 часов. Учитывая, что напряжение очень мало (даже если термоэлементы подключить последовательно ), но далее можно поставить преобразователь и заряжать конденсаторы параллельно, а разряжать последовательно. А вот средний КПД самих термоэлементов для данного процесса в заданном диапазоне температур ?

[VTur]

Прошу прощения, абберация сознания. У Вас однородное дифф. ур.
E=A*T₂*Ln(T₂ )+B+C*T₂. С - постоянная интегрирования.

[Sergei]

У Вас однородное дифф. ур.
E=A*T₂*Ln(T₂ )+B+C*T₂. С - постоянная интегрирования.

T₁₀-начальная температура в емкости A₁.
T₂₀-начальная температура в емкости A₂.
T₃-температура в обоих емкостях (сравнялась).
E₃-энергия, выработанная термоэлементом

Поставил старый добрый C++ и проверил эту формулу, найдя энергии для разных участков, далее найдя коэффициенты.
Из вышеприведенной формулы при C=const получилась E₃=C*(T₁₀+T₂₀-2*T₃), которая и так известна мне из условия. Добавил еще 1 член ln(T) для нахождения интерполирующей зависимости, получилась:

E₃= K₁*T*ln(T)+K₂*ln(T)+K₃*T+K₄

к сожалению, ни данная, ни E=A*T₂*Ln(T₂ )+B+C*T₂ - не верны.
А вот данные, полученные иттерационным методом:
при m₁=m₂=1 кг T₁₀= 273.15 K T₂₀= 373.15 K
E₃= 32676.504921 Дж
T₃= 319.2577950063 K

напомпню E₃ = (T₂₀; T₃) INTEGRAL C(T₂)((T₂-T₁)/T₂) dT₂

вода-неорганическое в-во, а для неорганики интерполирующая зависимость C(T) = a+b*T+c/(T^2)
для воды (Дж/(кг*К) (при 0.1 МПа, пределы 273.15 К - 373.15 К),
a=2736.979051
b=3.020328913
c=48871505.21

Но вот, что интересно:
Минимум теплоемкости C(T) для воды совпадает с точкой T₃ до которой остыла вода в приведенном примере. относ. погрешность 0.00184.
А ведь начальные данные T₁₀ - точка замерзания, а T₂₀ - точка кипения.
Интересно, есть-ли связь между точкой замерзания, точкой кипения и минимумом/максимумом теплоемкости С(T) для жидкой фазы
для других веществ, или это лишь единственное совпадение ?
имею ввиду соотношение:

(T_ext; T_кип.) INTEGRAL C(T) dT - (T_зам.; T_ext) INTEGRAL C(T) dT = (T_кип.; T_ext) INTEGRAL C(T₂)*((T₂-T₁)/T₂) dT₂

T_зам.- точка замерзания
T_кип.- точка кипения
T_ext- точка экстремума (минимума/максимума теплоемкости C(T) )

[VTur]

E₃= K₁*T*ln(T)+K₂*ln(T)+K₃*T+K₄
к сожалению, ни данная, ни E=A*T₂*Ln(T₂ )+B+C*T₂ - не верны.

Я решил уравнение влоб. Значит, исходные посылки или выбранное приближение неверно. Попытайтесь дать более точное диф. ур.